时间复杂度

评价一个算法通常从两个角度考虑

  • 执行速度
  • 占用存储空间

区别

  • 如果执行速度块,说明算法好。这种评价的角度称为时间复杂度
  • 如果执行过程中占用存储空间少,说明算法好。这种评价的角度称为空间复杂度

实际上对于用户来说时间复杂度更重要,因为时间复杂度是用户能感受到的,而
空间复杂度是用户感受不到的。为了让用户感受速度,还可以用空间换时间,例如
缓存(redis,memcache)技术就是用空间换时间。

一.时间频度

时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语
句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间
频度。记为T(n)。

1.忽略常数项

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观察上表,发现随着n的增大,时间频度也会增大。
例如:

当n为300时,2n+20的值是620
当n为300时,2*n的值是600
再例如:
当n为300时,T(3n+10) 的值是910
当n为300时,T(3n) 的值是900

  • 2n+20 和 2n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略
  • 3n+10 和 3n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽

结论:时间频度的常数项可以忽略

2.忽略低次项

下图是一个时间函数表

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观察上表,发现随着n的增大,时间频度也会增大。
例如:

当n为100时,2n²+3n+10的值是20310
当n为100时,T(2n²) 的值是20000
再例如:
当n为100时,T(n²+5n+20) 的值是10520
当n为100时,T(n²) 的值是 10000

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我们发现:

2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10

n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

得到结论:时间频度的低次项可以忽略

3.忽略系数

下表是一个时间频度的函数表

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观察上表,发现随着n的增大,时间频度也会增大。
例如:

当n为100时,3n^2+2n的值是30200
当n为100时,5n^2+7n的值是50700
再例如:
当n为100时,n^3+5n 的值是1000500
当n为100时,6n^3+4n的值是6000400
随着n的增大,时间频度的变化如下图所示

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我们发现:
5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ,随着n值变大,执行曲线重合, 说明这种情况下, 5和3
可以忽略。
n^3+5n 和 6n^3+4n ,随着n值变大,执行曲线分离,说明多少次方式关键。(6n^3与n^3)

结论:时间频度的系数可以忽略

二.时间复杂度(大O表示法)

1.什么是时间复杂度?

一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,
用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值
为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n)
) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它
们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。因为时间频度中的常数项、低次
向、系数都可以忽略

2.计算时间复杂度的方法

  1. 用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1

  2. 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²

  3. 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

3.常见的时间复杂度

  • 常数阶O(1)
  • 对数阶O(log2n)
  • 线性阶O(n)
  • 线性对数阶O(nlog2n)
  • 平方阶O(n^2)
  • 立方阶O(n^3)
  • k次方阶O(n^k)
  • 指数阶O(2^n)

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说明

  • 常见的算法时间复杂度由小到大依次为:

    Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n^2)<Ο(n^3)< Ο(n^k) <Ο(2^n)

  • 随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低

  • 从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

1.常数阶O(1)

int i = 1;
int j = 2;
i++;
j++;
int sum = i+j;

上述代码在执行的时候,它消耗的时间并不随着某个变量的增长而增长,那么
无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂

2.对数阶O(log2n)

int i = 1;
while(i<=n) {
i = i * 2; 
}

说明:在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近
了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次
方等于 n,那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此
这个代码的时间复杂度为:O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化
的,i = i * 3 ,则是 O(log3n) 线性阶O(n)

3.线性阶O(n)

for (int i = 1; i <=n; i++) {
}

4.线性对数阶O(nlog2N)

说明:线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的对
数阶代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是了
O(nlogN)

for (int m = 1; m <=n; m++) {
int i = 1;
while(i<n) {
i = i * 2;
}
}

5.平方阶O(n²)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j=1;j <= n;j++) {
}
}

6.立方阶O(n³)

类似上面的O(n²) ,O(n³)相当于三层n循环

7.K次方阶O(n^k)

相当于K层n循环

三.平均时间复杂度、最坏时间复杂度

  • 平均时间复杂度:考虑各种情况及其发生的概率,得到的时间复杂度。
  • 最好时间复杂度:在最理想的情况下,执行这段代码的时间复杂度。
  • 最坏时间复杂度:在最糟糕的情况下,执行这段代码的时间复杂度。

一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏
情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的
运行时间不会比最坏情况更长。

各种排序算法的最好、最坏、平均时间复杂度如下表所示:

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稳定排序:是指能保证排序前,两个相等的数其在序列的前后位置顺序和排序
后它们两个的前后位置顺序相同。

例如,如果Ai = Aj,Ai原来在位置前,排序后Ai还是要在Aj位置前。
不稳定排序:排序之后在序列中相等的值的相对位置发生变化。

排序术语

  • 稳定:如果 A 原本在 B 前面,而 A=B,排序之后 A 仍然在 B 的前面。

  • 不稳定:如果 A 原本在 B 的前面,而 A=B,排序之后 A 可能会出现在 B 的后面。

    例如:

    5A, 2, 9, 3, 5B, 2

    2, 2, 3, 5A, 5B, 9

  • 内排序(In-place):所有排序操作都在内存中完成。

  • 外排序(Out-place):由于数据太大,因此把数据放在磁盘中,而排序通过磁

    盘和内存的数据传输才能进行。

  • 时间复杂度: 定性描述一个算法执行所耗费的时间。

空间复杂度

定性描述一个算法执行所需内存的大小。

每一个算法所编写的程序,运行过程中都需要占用大小不等的存储空间,算
法的存储量包括:

  • 程序本身所占空间
  • 输入数据所占空间
  • 辅助变量所占空间

1.首先,程序自身所占用的存储空间取决于其包含的代码量,如果要压缩这部分存储
空间,就要求我们在实现功能的同时,尽可能编写足够短的代码。
2.其次,程序运行过程中输入输出的数据,往往由要解决的问题而定,即便所用算法
不同,程序输入输出所占用的存储空间也是相近的。
3.事实上,对算法的空间复杂度影响最大的,往往是程序运行过程中所申请的临时存
储空间。不同的算法所编写出的程序,其运行时申请的临时存储空间通常会有较大
不同。

例如:

Scanner scanner = new Scanner(System.in)
int n;
n = scanner.nextInt();
int a[10];

此时,程序运行所申请的临时空间,和 n 值有直接的关联。

  • 如果程序所占用的存储空间和输入值无关,则该程序的空间复杂度就为 O(1)
  • 如果随着输入值 n 的增大,程序申请的临时空间成线性增长,则程序的空间复杂度用 O(n) 表示
  • 如果随着输入值 n 的增大,程序申请的临时空间成 n2 关系增长,则程序的空间复杂度用 O(n2) 表示
  • 如果随着输入值 n 的增大,程序申请的临时空间成 n3 关系增长,则程序的空间复杂度用 O(n3) 表示

例如

一个哈希表,线性表这些就是O(1)

一个二维数组就是O(n^2)