贪心算法

贪心算法的介绍

贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时,在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择,从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法;贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)但是都是相对近似(接近)最优解的结果。

那贪心是否一定能得到最优解呢?

《算法导论》给出了最明确的答案——贪心算法不能保证一定能得到最优解,但是对很多问题确实可以得到最优解 。

那么什么时候用贪心呢?

这要求要解决的问题具有”最优子结构“,那什么是”最优子结构“呢?这个问题好比用高等数学证明”1+1=2“,解释不如不解释。

贪心常见的经典应用场景有如下这些:

  1. 排序问题:选择排序、拓扑排序
  2. 优先队列:堆排序
  3. 赫夫曼压缩编码
  4. 图里的Prim、Fruskal和Dijkstra算法
  5. 硬币找零问题
  6. 分数背包问题
  7. 并查集的按大小或者高度合并问题或者排名
  8. 任务调度部分场景
  9. 一些复杂问题的近似算法

这些算法很多与图有关,本身比较复杂,也难以实现 ,我们一般掌握其思想即可

因此我们只需要了解怎么做题即可,不需要讨论原理

贪心问题举例

L455 分发饼干

假设你是一位很棒的家长,想要给你的孩子们一些小饼干。但是,每个孩子最多只能给一块饼干。

对每个孩子 i,都有一个胃口值 g[i],这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸;并且每块饼干 j,都有一个尺寸 s[j] 。如果 s[j] >= g[i],我们可以将这个饼干 j 分配给孩子 i ,这个孩子会得到满足。你的目标是尽可能满足越多数量的孩子,并输出这个最大数值。

示例 1:

输入: g = [1,2,3], s = [1,1]
输出: 1
解释: 
你有三个孩子和两块小饼干,3个孩子的胃口值分别是:1,2,3。
虽然你有两块小饼干,由于他们的尺寸都是1,你只能让胃口值是1的孩子满足。
所以你应该输出1。

示例 2:

输入: g = [1,2], s = [1,2,3]
输出: 2
解释: 
你有两个孩子和三块小饼干,2个孩子的胃口值分别是1,2。
你拥有的饼干数量和尺寸都足以让所有孩子满足。
所以你应该输出2.

提示:

  • 1 <= g.length <= 3 * 104
  • 0 <= s.length <= 3 * 104
  • 1 <= g[i], s[j] <= 231 - 1

这道题题理解的贪心就是自己分析问题构造出最优解,例如在这道题中,我们想要更多孩子满足,就首先应该满足大胃口的孩子,因此我们饼干应该从最大的开始,孩子也应该从大胃口开始

看到这里,你应该已经想到了排序

代码实现并不难

class Solution {
    public int findContentChildren(int[] g, int[] s) {
        Arrays.sort(g);
        Arrays.sort(s);
        int sp = s.length - 1;
        int gp = g.length - 1;
        int res = 0;
        while (sp >= 0 && gp >= 0) {
            if (g[gp] <= s[sp]) {
                res++;
                sp--;
            }
            gp--;
        }
        return res;
    }
}

另一种写法

 public int findContentChildren(int[] g, int[] s) {
        Arrays.sort(g);
        Arrays.sort(s);
        int count = 0;
        int start = s.length - 1;
        // 遍历孩子的胃口
        for (int index = g.length - 1; index >= 0; index--) {
            if(start >= 0 && g[index] <= s[start]) {
                start--;
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

L860 柠檬水找零

在柠檬水摊上,每一杯柠檬水的售价为 5 美元。顾客排队购买你的产品,(按账单 bills 支付的顺序)一次购买一杯。

每位顾客只买一杯柠檬水,然后向你付 5 美元、10 美元或 20 美元。你必须给每个顾客正确找零,也就是说净交易是每位顾客向你支付 5 美元。

注意,一开始你手头没有任何零钱。

给你一个整数数组 bills ,其中 bills[i] 是第 i 位顾客付的账。如果你能给每位顾客正确找零,返回 true ,否则返回 false

示例 1:

输入:bills = [5,5,5,10,20]
输出:true
解释:
前 3 位顾客那里,我们按顺序收取 3 张 5 美元的钞票。
第 4 位顾客那里,我们收取一张 10 美元的钞票,并返还 5 美元。
第 5 位顾客那里,我们找还一张 10 美元的钞票和一张 5 美元的钞票。
由于所有客户都得到了正确的找零,所以我们输出 true。

示例 2:

输入:bills = [5,5,10,10,20]
输出:false
解释:
前 2 位顾客那里,我们按顺序收取 2 张 5 美元的钞票。
对于接下来的 2 位顾客,我们收取一张 10 美元的钞票,然后返还 5 美元。
对于最后一位顾客,我们无法退回 15 美元,因为我们现在只有两张 10 美元的钞票。
由于不是每位顾客都得到了正确的找零,所以答案是 false。

提示:

  • 1 <= bills.length <= 105
  • bills[i] 不是 5 就是 10 或是 20

这道题看到以后,我们需要先想流程和最优解,在找钱过程中,我们如何找钱可以使得后面尽可能也有零钱可找呢?

答案是我们找钱尽可能要找大钱,将5元的零钱留着,后面的找钱也就可以有零钱了

初版,这里我们先写出整体流程再修改:

class Solution {
    public boolean lemonadeChange(int[] bills) {
        int[] c = new int[3];
        boolean res = true;
        for (int i = 0; i < bills.length; i++) {
            if (bills[i] == 5) {
                c[0]++;
            } else if (bills[i] == 10) {
                c[1]++;
                if (c[0]-- < 1) {
                    return false;
                }
            } else {
                if (c[1] == 0) {
                    c[0] -= 3;
                    if (c[0] < 0) {
                        return false;
                    }
                } else {
                    c[1] -= 1;
                    c[0] -= 1;
                    if (c[1] < 0 || c[0] < 0) {
                        return false;
                    }
                }


            }

        }
        return res;
    }
}

很明显这种写法很不优雅,进行优化:

class Solution {
    public boolean lemonadeChange(int[] bills) {
        int[] c = new int[3];
        boolean res = true;
        for (int i = 0; i < bills.length; i++) {
            if (bills[i] == 5) {
                c[0]++;
            } else if (bills[i] == 10) {
                c[1]++;
                res = --c[0] >= 0;
            } else {
                res = c[1] == 0 ?
                    (c[0] -= 3) >= 0 : (c[1] -= 1) >= 0 && (c[0] -= 1) >= 0;
            }
            if (!res)
                return false;

        }
        return res;
    }
}

这道题并不难,只需要注意在有10元时,优先找10元,就是这道题的贪心,这道题也可以直接使用变量,不定义数组,思路是一样的

public boolean lemonadeChange(int[] bills) {
//这里只表示5元和10元纸币的数量,而不是总金额
        int cash_5 = 0;
        int cash_10 = 0;
        for (int i = 0; i < bills.length; i++) {
            if (bills[i] == 5) {
                cash_5++;
            } else if (bills[i] == 10) {
                cash_5--;
                cash_10++;
            } else if (bills[i] == 20) {
                if (cash_10 > 0) {
                    cash_10--;
                    cash_5--;
                } else {
                    cash_5 -= 3;
                }
            }
            if (cash_5 < 0 || cash_10 < 0) return false;
        }    
        return true;
}

L135 分发糖果

n 个孩子站成一排。给你一个整数数组 ratings 表示每个孩子的评分。

你需要按照以下要求,给这些孩子分发糖果:

  • 每个孩子至少分配到 1 个糖果。
  • 相邻两个孩子评分更高的孩子会获得更多的糖果。

请你给每个孩子分发糖果,计算并返回需要准备的 最少糖果数目

示例 1:

输入:ratings = [1,0,2]
输出:5
解释:你可以分别给第一个、第二个、第三个孩子分发 2、1、2 颗糖果。

示例 2:

输入:ratings = [1,2,2]
输出:4
解释:你可以分别给第一个、第二个、第三个孩子分发 1、2、1 颗糖果。
     第三个孩子只得到 1 颗糖果,这满足题面中的两个条件。

提示:

  • n == ratings.length
  • 1 <= n <= 2 * 104
  • 0 <= ratings[i] <= 2 * 104

这道题分析来看,有左右规则:

  • 当 ratingS B >ratingS A 时,B 的糖比 A 的糖数量多。
  • ratingS A >ratingS B 时,A 的糖比 B 的糖数量多。

因此这道题我们只需要左边遍历一遍,然后右边遍历一遍,每一次指定规则:

第 i 名学生糖比第 i−1 名学生多 1 个,如果少或相等则不管,从右向左同理

在左右两遍遍历结束后,取左右两遍结果的最大值,同时满足左右规则即可

代码实现:

class Solution {
    public int candy(int[] ratings) {
        int[] left = new int[ratings.length];
        int[] right = new int[ratings.length];
        Arrays.fill(left, 1);
        Arrays.fill(right, 1);
        for(int i = 1; i < ratings.length; i++)
            if(ratings[i] > ratings[i - 1]) left[i] = left[i - 1] + 1;
        //因为加不到最后一个,所以直接设定最后一个初始值
        int count = left[ratings.length - 1];
        for(int i = ratings.length - 2; i >= 0; i--) {
            if(ratings[i] > ratings[i + 1]) right[i] = right[i + 1] + 1;
            count += Math.max(left[i], right[i]);
        }
        return count;
    }
}

可以不定义两个数组空间,并且在遍历时如果小于或者等于直接设置0即可,并且计算最大值的时候直接设置值即可,优化:

public int candy(int[] ratings) {
        int[] candyVec = new int[ratings.length];
        candyVec[0] = 1;
        for (int i = 1; i < ratings.length; i++) {
            if (ratings[i] > ratings[i - 1]) {
                candyVec[i] = candyVec[i - 1] + 1;
            } else {
                candyVec[i] = 1;
            }
        }
        for (int i = ratings.length - 2; i >= 0; i--) {
            if (ratings[i] > ratings[i + 1]) {
                candyVec[i] = Math.max(candyVec[i], candyVec[i + 1] + 1);
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int s : candyVec) {
            ans += s;
        }
        return ans;
    }